什么是彩票中奖概率计算器？
这款工具能告诉你，中彩票头奖到底有多难。彩票的玩法是从 n 个号码组成的号码池中开出 k 个号码，且不计顺序。所有可能的开奖组合数就是组合数 \(C(n,k)\)，而你手中的一注彩票只对应其中的一种组合——所以中头奖的概率就是「\(C(n,k)\) 分之一」。许多玩法还会额外从另一个号码池中开出一个特别号码（特码 / 加码球），这会让总组合数成倍增加，中头奖的难度也随之大幅飙升。
从 n 个中选取 k 个，可得到 \(C(n,k)\) 种可能的组合。
如何使用
输入主号码池中的号码总数（n）、需要选中的号码个数（k），以及特别号码池的大小（如果没有特别号码，填 0 即可）。计算器会以「X 分之一」的形式给出头奖中奖几率，同时显示原始中奖概率和背后的组合总数。
$$\text{Odds} = \frac{1}{\dbinom{\text{n}}{\text{k}}}$$
公式详解
组合公式为 $$C(n,k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$ 由于阶乘的数值增长极快，本计算器采用逐项相乘、边乘边除的方式进行运算，既能保证精度，又能避免数值溢出。当特别号码池的大小为 \(b\) 时，总组合数变为 \(C(n,k) \times b\)。
$$\text{Odds} = \cfrac{1}{\dbinom{\text{n}}{\text{k}}} = \cfrac{\text{k}!\,(\text{n}-\text{k})!}{\text{n}!}$$$$\text{Odds} = \cfrac{1}{\dbinom{\text{n}}{\text{k}} \times \text{Bonus pool}}$$
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组合数 \(C(n,k)\) 是用总排列数除以重复的排序得到的。
实例演示
以经典的「49 选 6」彩票为例：$$C(49,6) = 13{,}983{,}816.$$ 也就是说，你的中奖几率是 13,983,816 分之一——每注约为 0.00000715% 的中奖概率。如果再加上类似美国 Powerball 那样从 26 个号码中开出的特别号码，就还要再乘以 26。
各种流行彩票类型的头奖概率
“选 k 个、从 n 个中选”游戏的头奖概率取决于可能组合的数量 \(\binom{n}{k}\)。如果游戏还会从另一个大小为 b 的独立号码池中抽取一个附加球，则再乘以 b。以下格式仅为示例，实际游戏规则（号码池大小、选号数量、附加球）因国家、运营商而异，并且会随时间变化。请查看具体游戏当前的官方规则。
游戏类型（n、k、附加球号码池）
组合公式
组合总数
头奖概率
从 39 中选 5，无附加球
\(\binom{39}{5}\)
575,757
575,757 分之 1
从 49 中选 6，无附加球
\(\binom{49}{6}\)
13,983,816
13,983,816 分之 1
从 59 中选 6，无附加球
\(\binom{59}{6}\)
45,057,474
45,057,474 分之 1
从 69 中选 5 + 从 26 中选 1 个附加球
\(\binom{69}{5} \times 26 = 11{,}238{,}513 \times 26\)
292,201,338
292,201,338 分之 1
从 50 中选 5 + 从 12 中选 1 个附加球
\(\binom{50}{5} \times 12 = 2{,}118{,}760 \times 12\)
25,425,120
25,425,120 分之 1
增加一个独立的附加球号码池，会使难度乘以该号码池的大小。给主号码池多加一个号码，难度会乘以 \(\frac{n+1}{n+1-k}\)。这些数字仅涵盖头奖，即选中所有必需号码，不包括较低等级的奖项。
如何理解你的中奖概率
“1 in X”（即 X 分之一）表示：在 X 种同样可能的组合中，恰好有一种与开奖结果吻合。换算成概率，即 \(P = \frac{1}{X}\)。对于 13,983,816 分之 1，\(P \approx 7.15 \times 10^{-8}\)，约为 0.00000715%。
非常大的数字更容易通过数学上的中性比较来理解：
在一枚公平硬币上连续 N 次掷出正面的概率为 \(2^{-N}\)。由于 \(2^{23} = 8{,}388{,}608\)，\(2^{24} = 16{,}777{,}216\)，约 1400 万分之一的概率大致相当于连续掷出 24 次正面（更精确地说，约为 23.7 次）。
575,757 分之 1 大致相当于连续 19 次正面，因为 \(2^{19} = 524{,}288\)。
292,201,338 分之 1 大致相当于连续 28 次正面，因为 \(2^{28} = 268{,}435{,}456\)。
每次开奖都是独立的。号码球没有“记忆”，因此之前的结果、“遗漏”的号码或“热门”号码都不会改变下一次开奖的概率。
每种组合的可能性都相等。号码组合 1-2-3-4-5-6 与同一号码池中的任何其他六个号码的组合，中奖机会完全相同。只是人们会觉得某些组合看起来不够“随机”。
本计算器只计算头奖概率。期望值、各等级奖项、税费、彩票价格以及与他人分享头奖的机会均不在其范围之内，本文也不对是否应该购买彩票提供任何建议。
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手动计算彩票中奖概率
确定 n 和 k。n 是主号码池的大小，k 是抽出的号码个数。例如，n = 49，k = 6。
使用简化公式。$$\binom{n}{k} = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{k!}$$ 分子包含 k 个递减的因子，这样就不必计算像 49! 这样的大阶乘。
尽可能约分。分母 \(k!\) 可以在相乘之前与分子的因子相除，从而使数字更小。当 k = 6 时，\(6! = 720\)。
计算 6/49 的情形。$$\binom{49}{6} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{720} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$ 连乘的中间结果为：49×48 = 2,352；×47 = 110,544；×46 = 5,085,024；×45 = 228,826,080；×44 = 10,068,347,520。
如适用，乘以附加球号码池的大小。如果还从 b 个号码中单独抽取一个附加球，则组合总数 = \(\binom{n}{k} \times b\)。例如，从 50 中选 5，附加球从 12 个号码中抽取：\(2{,}118{,}760 \times 12 = 25{,}425{,}120\)。若没有单独的附加球号码池，则跳过此步骤。
取倒数得到 X 分之一。头奖概率为 \(\frac{1}{X}\)，其中 X 是前面各步得出的组合总数。对于从 49 中选 6，即 13,983,816 分之 1。
常见问题
多买几注能提高中奖几率吗？能，但只是线性增长：买两注不同的号码，中奖概率就翻倍到「\(C(n,k)\) 分之二」，但依然微乎其微。
开奖号码的顺序重要吗？不重要——彩票号码不讲先后顺序，所以我们用的是组合数，而不是排列数。
特别号码是怎么计算的？我们假设特别号码来自一个独立的号码池，因此把主号码的组合数乘以特别号码池的大小。如果你所玩的彩票是从剩余的号码中再开特别号码，那计算方式会略有不同。