目录什么是逆元如何求逆元拓展欧几里得求逆元费马小定理求逆元阶乘逆元线性求逆元
本文章内，若无特殊说明，数字指的是整数，除法指的是整除。
什么是逆元
我们称\(a\)是\(b\)在模\(p\)情况下的逆元，则有\(a \times b \equiv 1 ( mod\,\,p)\)。
所以呢，我们其实可以将逆元看成一个数的相反数。所以在除以一个数的时候，就相当于乘上它的相反数。
如何求逆元
我们先来看看什么情况下有逆元。
当且仅当\(gcd(b,p)=1\)时，\(b\)在模\(p\)情况下有逆元。
这个结论可由裴蜀定理显然推得，下面一段来自百度百科，若读者对证明有兴趣，可以自行了解。
裴蜀定理（或贝祖定理，Bézout's identity）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数\(a\)、\(b\)和它们的最大公约数\(d\)，关于未知数\(x\)和\(y\)的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若\(a\),\(b\)是整数,且\((a,b)=d\)，那么对于任意的整数\(x\),\(y\),\(ax+by\)都一定是\(d\)的倍数，特别地，一定存在整数\(x\),\(y\)，使\(ax+by=d\)成立。
拓展欧几里得求逆元
下面介绍如何用拓展欧几里得求逆元。
我们求\(b\)在模\(g\)意义下的逆元，根据\(a \times b \equiv 1 ( mod\,\,p)\)，得到\(a\times b + k\times p = 1\)。
我们知道，\(gcd(b,p)=gcd(p,b \% p)\)，所以\(a'\times p+k'\times (b \% p)=1\)同样有解。而由于\(gcd(b,p)=1\)，辗转相除法时，总有\(a''\times 1 + k'' \times 0 = 1\)。
此时我们不妨令\(a''=1,k''=0\)。
现在我们考虑怎么推回去。
\[a'\times p+k'\times (b \% p)=1
\]
\[\Rightarrow a'\times p+k'\times( b-\left \lfloor \frac{b}{p} \right \rfloor \times p)=1
\]
\[\Rightarrow k'\times b+(a'-\left \lfloor \frac{b}{p} \right \rfloor \times k') \times p=1
\]
与\(a\times b + k\times p = 1\)对照，得到\(a=k',\,\,\,k=a'- \left \lfloor \frac{b}{p} \right \rfloor\times k'\)。那么这样，我们就得到了\(a\times b + k\times p = 1\)的一组解，同时，\(a\)就是\(b\)在模\(p\)下的逆元。
附C++程序
#include
using namespace std;
void ExPower( int b, int p, int & a, int & k ) {
if( p == 0 ) {
a = 1; k = 0;
return;
}
ExPower( p, b % p, k, a );
k -= b / p * a;
return;
}
int main() {
int b, p;
cin >> b >> p;
int a, k;
ExPower( b, p, a, k );
if( a < 0 ) a += p;
cout << a << endl;
return 0;
}
费马小定理求逆元
我们知道，当\(p\)为素数，并且\(gcd(a,p)=1\)时，我们有\(a^{p-1} \equiv 1 (mod\,\,p)\)。那么我们就有\(a^{p-2}\times a \equiv 1(mod \,\, p)\)。所以逆元就是\(a^{p-2}\)了。
阶乘逆元
如果我们需要求\(0!\)到\(n!\)的逆元，对于每个元素都求一遍，就显得有点慢。（虽然\(exPower\)的时间快到可以认为是小常数。）
前面我们说了，逆元就可一看做是求倒数。那么不就有\(\frac{1}{(n+1)!}\times (n+1)=\frac{1}{n!}\)。
附C++程序：
int inv( int b, int p ) {
int a, k;
exPower( b, p, a, k );
if( a < 0 ) a += p;
return a;
}
void init( int n ) {
Fact[ 0 ] = 1;
for( int i = 1; i <= n; ++i ) Fact[ i ] = Fact[ i - 1 ] * i % Mod;
INV[ n ] = inv( Fact[ n ], Mod );
for( int i = n - 1; i >= 0; --i ) INV[ i ] = INV[ i + 1 ] * ( i + 1 ) % Mod;
return;
}
线性求逆元
按照上面的方法，如果我们要求\(1\)到\(p-1\)关于\(p\)的逆元，而\(p\)较大时，时间复杂度有点吃不消。而我们有一种更强的做法，可以在\(O(p)\)的时间内解决。
对于当前的\(i\)，我们设\(p=k\times i+r\)。于是：
\[\begin{aligned}
k \times i + r & \equiv 0 &\,\,(mod \,\, p) \\
k \times i \times ( i^{-1} \times r ^{-1}) + r \times (i^{-1} \times r^{-1}) &\equiv 0 &\,\,( mod \,\, p) \\
k \times r^{-1} + i ^ {-1} & \equiv 0 &\,\, (mod \,\, p)\\
i^{-1} & \equiv -k \times r^{-1} &\,\, (mod \,\, p) \\
i^{-1} & \equiv - \left \lfloor \frac{p}{i}\right \rfloor \times r^{-1} &\,\,(mod\,\,p)
\end{aligned}
\]
所以代码就大致如下：
Inv[ 1 ] = 1;
for( int i = 2; i <= n; i++ )
Inv[ i ] = ( p - p / i ) * Inv[ p % i ] % p;